Grupos central-por-finito : coberturas de grupos e um problema de Paul Ërdos

Abstract

Um grupo G é dito central-por-finito se o índice do centro [G:Z(G)] é finito. É possível caracterizar a classe dos grupos central-por-finito de várias maneiras. Uma dessas, devida a R. Baer, assegura que um grupo é central-por-finito se, e somente se ele admite uma cobertura finita por subgrupos abelianos. A partir de um problema de teoria dos grafos proposto por Paul Erdös, B. H. Neumann caracterizou os grupos central-por-finito de outra maneira, assegurando que um grupo é central-por-finito se, e somente se ele é um PE-grupo, isto é, um grupo cujo grafo não-comutativo Г(G)não possui subgrafos completos infinitos. Essas duas caracterizações levam a considerar, de maneira natural, três indicadores numéricos relacionados a um grupo central por finito. Primeiro, [G:Z(G)], o índice do centro, segundo, a(G), o número mínimo de subgrupos abelianos necessários para cobrir o grupo G de forma irredundante, e terceiro, ω(G), o tamanho do maior subgrafo completo de Г(G), isto é, o tamanho do maior clique do grafo Г(G). Um problema interessante então é relacionar essas três quantidades, encontrando cotas de uma em função de outra e também determinar condições sob as quais valem as igualdades. Em geral, dado G um grupo central-por-finito, sempre temos que ω(G) ≤ a(G) ≤ [G:Z(G)] ≤c^ω(G) , onde c é uma constante. Além disso, quando G é finito, é natural relacionar os indicadores [G:Z(G)], a(G) e ω(G)não só entre eles, mas também com a ordem de G. Portanto, neste trabalho vamos estudar as duas caracterizações de grupos central-por-finito mencionadas anteriormente, relacionar os três indicadores numéricos ω(G), a(G) e [G:Z(G)] e apresentar vários exemplos, entre eles a família de grupos extraespeciais de ordemp^(2n+1).