Método de isomonodromia aplicado ao modelo de Rabi

Abstract

A discussão sobre soluções exatas remonta o início da ciência. Com o desenvolvimento da matemática e da física, cientistas perceberam que nem tudo pode ser exatamente resolvido. Porém, alguns sistemas especiais sim. A tentativa de encontrar soluções existe desde a mecânica clássica e o formalismo Hamiltoniano. Liouville atrelou que o sistema é dito Integrável se existe um conjunto de quantidades conservadas em convolução. Com o desenvolvimento da Mecânica Quântica, surgiu um mundo novo de soluções a serem descobertas, além da seguinte pergunta: existe um análogo quântico para integrabilidade? O modelo de Rabi descreve a interação entre um átomo e um campo magnético rotacionando. O caso mais simples é um oscilador harmônico com dois níveis, análogo a um modelo de spin-1/2. Recentemente, o modelo tem atraído vividamente atenção, pois há muito tempo que tem sido um desafio provar exatamente sua solvabilidade. Em 2011, Braak resolveu o modelo em uma representação de Bargmann (estado coerente), obtendo de forma sistemática o seu espectro regular como zeros de uma função transcendental. A tese avança em algum esclarecimento na direção de provar que o modelo de Rabi não é apenas solúvel, mas também integrável. O ponto de partida é a representação de Bargmann do modelo de Rabi. Nesta representação, o modelo é descrito por uma equação de Heun confluente. Os dados da monodromia destas equações podem ser expressas em termos da função-tau da transcedental Painlevé V obtidas através de equações isomonodômicas. As propriedades globais estão codificados na noção de monodromias compostas,definindas através do parâmetro de monodromia composta do modelo. Finalmente, discute-se em termos gerais como se poderia usar este parâmetro composto de monodromia para obter o espectro do modelo de Rabi.