Sólitons de translação do fluxo da curvatura média harmônica a partir de superfícies máximas

Abstract

No artigo [1], os autores estudam o problema de construir superfícies no semiespaço superior do R3 em que as curvaturas de Gauss induzidas pela métrica euclidiana e pela métrica hiperbólica coincidem. Neste trabalho mostraremos que, se S é uma superfície no semiespaço e K e Kh são as curvaturas de Gauss induzidas pela métrica euclidiana e hiperbólica, respectivamente, então a quantidade K/Kh é invariante por transformações paralelas com relação a métrica hiperbólica. Isso permite interpretar a construção feita em [1] como o estudo de superfícies em que esse invariante é constante positivo. Em [1], os autores também comentam que é possível adaptar a construção para obter superfícies em que esse invariante é constante negativo. Ao longo deste texto, iremos detalhar o processo de construção dessas superfícies a partir de superfícies máximas no espaço de Lorentz. Mostraremos também como usar essa construção para caracterizar localmente todos os sólitons de translação do fluxo da curvatura média harmônica, definido pela seguinte regra {(∂∂tF)⊥=KHNF(⋅,0) = identidade em que a normal ao sóliton não é paralela à direção de translação em nenhum ponto. Por último, iremos mostrar um resultado que permite construir exemplos explícitos desses sólitons através da representação Weierstrass para superfícies máximas no espaço de Lorentz e discutiremos a possibilidade de se obter uma caracterização local completa.