http://repositorio.unb.br/handle/10482/41961| Arquivo | Descrição | Tamanho | Formato | |
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| 2021_TulioMarcioGentildosSantos.pdf | 849,6 kB | Adobe PDF | Visualizar/Abrir |
| Título: | Grupos autossimilares intransitivos |
| Autor(es): | Santos, Tulio Marcio Gentil dos |
| E-mail do autor: | tuliomarcio940@hotmail.com |
| Orientador(es): | Sidki, Said Najati |
| Coorientador(es): | Dantas, Alex Carrazedo |
| Assunto: | Automorfismos de árvores Representação autossimilar Centralizador de grupo abeliano autossimilar Grupos do tipo Lamplighter |
| Data de publicação: | 30-Jul-2021 |
| Data de defesa: | 14-Jun-2021 |
| Referência: | SANTOS, Tulio Marcio Gentil dos. Grupos autossimilares intransitivos. 2021. 102 f., il. Tese (Doutorado em Matemática)—Universidade de Brasília, Brasília, 2021. |
| Resumo: | Neste trabalho estudamos representações autossimilares de grupos em Am, o grupo de automorfismos da árvore m-ária regular Tm. Um grupo abstrato é dito ser au- tossimilar se ele admite uma representação autossimilar fiel em alguma árvore Tm; quando a representação autossimilar induz ação transitiva no primeiro nível da árvore, dizemos que o grupo é autossimilar transitivo. Um procedimento pa- drão para construção de representação autossimilar transitiva de um grupo foi por meio de um único endomorfismo virtual do grupo em questão. Recentemente, foi mostrado que este procedimento, quando aplicado ao produto entrelaçado restrito Z o Z, não pode produzir representação autossimilar transitiva fiel para qualquer m ≥ 2 (veja [3]). Estudamos subgrupos autossimilares de Am sem assumir ação transitiva no primeiro nível de Tm. Esta ação geral é traduzida em um conjunto de endomorfismos virtuais correspondentes à diferentes órbitas da ação no primeiro nível de Tm. Com este novo procedimento, produzimos representações autossimi- lares fiéis, algumas das quais são também finita por estado, para vários grupos tais como Z (ω) , Z o Z e (Z o Z) o C2. Também estendemos resultados de Brunner-Sidki [5], sobre subgrupos abelianos autossimilares transitivos de Am ao caso geral, onde o grupo de permutação induzido no primeiro nível da árvore tem s ≥ 1 órbitas. Provamos que um tal grupo A, na sua representação na árvore, imerge em um único subgrupo abeliano de Am o qual é autossimilar e auto-centralizante. Por fim, mostramos que o grupo nilpotente de classe 3 e livre de torção, N3,4, de Bludov-Gusev [27], não é autossimilar. |
| Abstract: | In this work we study self-similar representations of groups on Am, the group of automorphisms of a regular m-ary tree Tm. An abstract group is said to be self-similar provided it admits a faithful self-similar representation on some tree Tm; when a self-similar representation induces transitive action on the first level of the tree we say that the group is transitive self-similar. A standard approach for constructing a transitive self-similar representation of a group has been by way of a single virtual endomorphism of the group in question. Recently, it was shown that this approach when applied to the restricted wreath product ZoZ could not produce a faithful transitive self-similar representations for any m ≥ 2 (see [3]). We study self-similar subgroups of Am without assuming transitive action on the first level of the tree. This general action is translated into a set of virtual endomorphisms corresponding to the different orbits of the action on the first level of Tm. With this new approach we produce faithful self-similar representations, some of which are also finite-state, for a number of groups such as Z (ω) , Z o Z and (Z o Z) o C2. We also extend results from Brunner-Sidki [5], on transitive self-similar abelian subgroups of Am to the general case where the permutation group induced on the first level of the tree has s ≥ 1 orbits. We prove that such a group A, in its representation on the tree, embed into a unique abelian subgroup of Am which is self-similar and self-centralizing. Finally, we show that the nilpotent group of class 3 and torsion free, N3,4, of Bludov-Gusev [27], is not self-similar. |
| Informações adicionais: | Tese (doutorado)—Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática, 2021. |
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