Teorema do passo da Montanha e soluções para Equação de Euler-Lagrange

Abstract

O estudo realizado nesta dissertação está concentrado em trabalhar funcionais em espaços de Sobolev W 1,p 0 (Ω), p > 1, definidos por J(u) = Z Ω I (x, u, ∇u) dx, onde Ω é um subconjunto limitado e aberto em R N . Sabe-se na literatura clássica que pode-se obter pontos críticos destes funcionais, quando diferenciáveis, através da aplicação do Teorema do Passo da Montanha Clássico. Entretanto, estudaremos a existência de pontos críticos para funcionais J(u) que não são diferenciáveis. Assim, para contornar o problema da não-diferenciabilidade provaremos uma versão modificada do Teorema do Passo da Montanha publicada em um artigo de David Arcoya e Lucio Boccardo [3] o qual demonstra a existência de pontos críticos não-negativos para este tipo de funcional. Em seguida estudamos um funcional dado por J(v) = 1 2 Z Ω [a(x) + |v| γ ] |∇v| 2 dx − 1 p Z Ω (v +) p dx, para N > 2 onde a(x) é uma função mensurável satisfazendo 0 < α ≤ a(x) ≤ β, em quase todo ponto x ∈ Ω, ver [5]. Aqui estudaremos a existência de soluções positivas da equação de Euler-Lagrange com termo quase-linear `a qual este funcional J(v) está associado, quando γ > 1 e p > 1. Entretanto será necessário estudar previamente um teorema auxiliar visto em [54] o qual nos permitirá extender o nosso resultado para L ∞(Ω).