Soluções de sistemas elípticos sem estrutura variacional via ponto fixo em cones

Abstract

Neste trabalho, seguimos Cosner [9] para estudar dois resultados de existência de soluções positivas para sistemas elípticos sem estrutura variacional via ponto fixo em cones, que nos permite inclusive tratar de sistemas superlineares. Mais especificamente, vamos estudar soluções não negativas do seguinte sistema com condição de contorno de Dirichlet:

L1u1 = f1(⃗u) em Ω, . . . Lmum = fm(⃗u) em Ω, u1 = ··· = um = 0 sobre ∂Ω. (1) No primeiro resultado de existência, consideramos Ω ⊂ R N , com N ≥ 2, um domínio limitado com fronteira regular e Lµ sendo o operador uniformemente elíptico de segunda ordem na forma divergente com coeficientes regulares. No segundo resultado, adicionamos à Ω a hipótese de convexidade e consideramos Lµ = −∆. Em ambos os casos, enunciamos algumas hipóteses sobre ⃗f = (f1,··· , fm), incluindo condições de crescimento. Para determinar a existência de solução de (1), nossa principal ferramenta é um Teorema do Ponto Fixo em Cones. Para isso, seguiremos os trabalhos de Amann [3] e Deimling [10] e desenvolveremos a teoria de espaços de Banach Ordenados e do Índice do Ponto fixo.