The study of elliptic Kirchhoff-Boussinesq type nonlinear problems

Abstract

Nesta tese, estudaremos existência e multiplicidade de soluções para a seguinte classe de problemas: (Pi)

∆2u ± ∆pu + V (x)u = f(u) + β|u| 2∗∗−2u in Ω, u ∈ H2 ∩ H1 0 (Ω), onde (Pi) (i = 1, 2, 3) correspondem aos três problemas considerados nos capítulos 1-3, respectivamente, Ω ⊂ R N é um domínio suave, no caso β = 0 obtemos 2 < p < 2 ∗ = 2N N−2 , para N ≥ 3 e o caso β = 1 consideramos 2∗∗ = 2N N−4 para N ≥ 5. O Capítulo 1 é dedicado a provar um resultado de existência de soluções para o problema (P1) quando V = 0 e β = 0, onde Ω ⊂ R 4 é um domínio com fronteira suave, 2 < p < 4 e f é uma função contínua superlinear com crescimento exponencial subcrítico ou crítico. Aplicamos o método de Nehari para provar o resultado principal. No Capítulo 2 é dedicado a provar a existência e multiplicidade de soluções para o problema (P2) quando V = 0 e β ∈ {0, 1}, onde Ω ⊂ R N é um domínio limitado e suave e f é uma função contínua. Mostramos a existência e multiplicidade de soluções não triviais usando técnicas de minimização na variedade de Nehari, Teorema de Passo da Montanha e Teoria do Gênero. No Capítulo 3 é dedicado a provar a existência de uma solução de estado fundamental para o problema (P3) quando β ∈ {0, 1}. Aqui V e f são funções contínuas com V sendo periódica ou assintótica ao infinito. A função f tem crescimento subcrítico ou critico.