Método de monte carlo microcanônico aplicado ao modelo do anel auto-gravitante

Abstract

Na termodinâmica, o estudo dos sistemas com interações de longo alcance apresentam problemas não usuais e mais desafiadores do que aqueles associados à sistemas com interações de curto alcance. Isso é bem ilustrado pela existência de estados quasi-estacionários não-gaussianos, calor específico negativo de sistemas isolados e inequivalência dos ensembles. Uma interação é dita de longo alcance se, para longas distâncias, decai com r− α sendo α ≤ d , onde d é a dimensão espacial. A razão para essa definição é que, mesmo no limite termodinâmico, tais sistemas não são aditivos. Exemplos de sistemas com interações de longo alcance são o modelo de Hamiltoniano de Campo Médio (HMF), plasmas não-neutros e Sistemas Auto-Gravitantes (SGS), estes serão objeto de estudo neste trabalho. O estudo de sistemas SGS tridimensionais é particularmente difícel e complicado. Um modelo simplificado chamado de modelo do Anel Auto-Gravitante (SGR) foi proposto com o intuito de possibilitar o estudo das características e do comportamento do problema gravitacional de muitos corpos. Esse modelo consiste em partículas interagindo por forças gravitacionais newtonianas tridimensionais, mas cujo movimento está confinado a uma circunferência. O modelo SGR mantém as características peculiares do problema tridimensional, possui uma fase com calor específico negativo e uma transição de fase. Para entender como o calor específico negativo surge, para um estado estacionário, o teorema do virial nos conduz à seguinte relação: E=( α −2 K onde K é a energia cinética do sistema. Para o caso gravitacional α =1 , portanto o calor específico é negativo para sistemas auto-gravitantes no equilíbrio do viral, uma vez que, no ensemble microcanônico, a temperatura é proporcional à energia cinética média do sistema. O problema gravitacional tem a dificuldade da divergência do potencial a curtas distâncias. Isto requer uma regularização no potencial para tais distâncias. Neste trabalho, ao invés de usar o parâmetro de softening usual para evitar a divergência a curtas distâncias, foi levado em conta o tamanho das partículas, introduzindo um potencial de partícula impenetrável. Para a execução dos cálculos foi empregado o uso do Método de Monte Carlo Microcanônico. Os resultados para a curva calórica e para o parâmetro de ordem do SGR são mostrados e revelam que a introdução do potencial de partícula impenetrável representa bem o equilíbrio do virial. Também gostaria de assinalar que as simulações de Monte Carlo foram implementadas com um algoritmo rápido. _______________________________________________________________________________ ABSTRACT

In thermodynamis, the study of long-range interacting systems presents a plethora of unusual and challenging problems than those associated with short-range interacting systems. This fact is well ilustrated by the existence of quasi-stationary non-gaussian states, negative specific heat of isolated systems and the inequivalence of ensembles. An interaction is long-ranged if it decays, for long distances, as r− with α ≤ d , where d is the spatial dimension. The reason for this definition is that, even in the thermodynamic limit, such systems are not additive. Examples of systems with long-range interactions are the Hamiltonian Mean Field (HMF), non-neutral plasmas and Self- Gravitating Systems (SGS), which will be the object of study in this work. The study of threedimensional SGS are particularly heavy. A simplified model called Self-Gravitating Ring (SGR) model was proposed in order to understand the features and the behaviour of the gravitational many-body problem. It consist in particles interacting through the true newtonian threedimensional forces, but whose moviment are constrained to a ring. The SGR model maintains the peculiar features of the threedimensional problem, showing a negative specific heat and a phase transition. In order to understand how the negative heat arises, for a stationary state, the virial theorem yields to E=( α −2) K where K is the kinetic energy of the system. For the gravitational case α =1 , thus the specific heat is negative for SGS in the virial equilibrium, once, in the microcanonical ensemble, and temperature is proportional to the average kinetic energy of the system,. The gravitational problem has the difficulty of the short distances divergence in the potential. This requires a regularization in the potential. In this work, instead of using the usual softening parameter, we take into account the size of particle, introduing the hardcore potential to avoid the divergence at short distances. For performing the calculations we employed the Microcanonical Monte Carlo Simulation. The results for the caloric curve and for the order parameter of the SGR are shown and reveals that the introduction of the hardcore particles represents well the virial equilibrium. We also would like to point out that the Monte Carlo Simulations was implemented with a fast algorithm.