Inferência estatística no domínio de Fourier para o estudo da dinâmica da convergência de processos difusivos anômalos

Abstract

Sistemas complexos sob regime difusivo anômalo podem ser descritos por distribuições truncadas de Lévy. Problemas de inferência estatística nesse ambiente não gaussiano po- dem ser abordados via transformadas de Fourier, como as funções características. Este trabalho apresenta uma expansão alternativa da função característica que se mostrou útil para a estimação por máxima verossimilhança dos parâmetros das distribuições sob a hipótese de estabilidade. Para ilustrar, consideramos as séries temporais do índice da Bolsa de Valores de São Paulo, do índice Dow Jones Industrial Average da Bolsa de Valores de Nova Iorque (NYSE) contemplando o evento denominado ash crash ocorrido em 6 de maio de 2010 , das taxas de câmbio das principais moedas frente ao dólar norte americano, e dos preços de algumas ações negociadas na NYSE que sofreram mini- ash crashes em 2011. Em geral, esses dados podem ser modelados por distribuições truncadas, e a lentidão da convergência desses processos para a gaussiana se explica pela dependência serial de curto e de longo alcance. Observamos também que a função característica empírica sofre truncamento devido à nitude da amostra, havendo quebra de scaling sempre no mesmo patamar, independentemente da forma da distribuição dos dados. Finalmente, introduzimos um novo método assintótico que permite testar a hipótese de independência entre dois conjuntos de dados. Nosso teste é do tipo Cramér-von Mises, em que o processo empírico é obtido com base na divergência de Kullback-Leibler, e se mostrou estatistica- mente poderoso para detectar dependência não linear fora do ambiente gaussiano. ______________________________________________________________________________ ABSTRACT

Complex systems under anomalous di usive regime can be approximately described by truncated Lévy ights. Many di cult statistical issues in this non-Gaussian environment can be amenable to solution by the Fourier transform methods, as the characteristic functions. In this work, we put forward an alternative expansion of the characteristic function which proved useful for the maximum likelihood estimation of the parameters under the stability hypothesis. Our approach is exempli ed with the Sao Paulo Stock Exchange index time series, the high-frequency data from the Dow Jones Industrial Average index which encompass the recent episode known as the ash crash of May 6, 2010 , the foreign exchange rate data, and the high-frequency data from stocks listed on the NYSE that recently experienced so-called mini- ash crashes. We con rm that the sluggish convergence of the truncated Lévy ights to a Gaussian can be explained by the presence of short range and long range serial dependence in these data. We also investigated the truncation phenomenon of the empirical characteristic function (ECF) due to the sample nitude. Regardless of the distribution shape, the ECF scaling breaks down always at the same level, depending only on the sample size. Finally, we devise a novel asymptotic statistical test to assess independence in bivariate data set. Our approach is based on the Cramér-von Mises test, and proved able to detect nonlinear dependence even if the environment is non-Gaussian.