Sobre a Transformação de Ribaucour e a composição de transformações de Bäcklund para superfícies Linear-Weingarten Hiperbólicas em R3

Abstract

Consideremos superfícies linear Weingarten hiperbólicas imersas em R3 tais que as curvaturas Gaussiana K e média H satisfazem 1+2βH+γK = 0, onde β,γ∈Reβ2−γ<0. A primeira e segunda formas fundamentais destas superfícies são completamente determinadas pelas soluções da equação de sine-Gordon ψx1x1−ψx2x2= sen(ψ+ Cβγ), onde Cβγ é uma constante real determinada por βeγ. A partir de uma superfície linear Weingarten hiperbólica imersa em R3 satisfazendo 1+2βH +γK = 0 obtemos novas superfícies deste tipo satisfazendo 1+2βH+γK= 0, através do teorema de Bäcklund geométrico para tais superfícies.Usando a composição dessas transformações geométricas obtemos o teorema de permutabilidade para superfícies linear-Weingarten hiperbólicas que fornece uma família a 4-parâmetros de superfícies satisfazendo 1+2βH∗+γK∗= 0. A interpretação analítica desses resultados é dada em termos de soluções da equação de sine-Gordon. O Teorema de integrabilidade analítico fornece uma transformação de Bäcklund para soluções desta equação e o teorema de permutabilidade fornece novas soluções por um processo algébrico. Um outro método para obter novas superfícies linear-Weingarten hiperbólicas a partir de uma dada superfície satisfazendo 1+2βH +γK = 0 é a transformação de Ribaucour que fornece uma famíliaa 4-parâmetros de tais superfícies com as mesmas constantes βeγ. Determinamos condições necessárias e suficientes para que as superfícies obtidas pela composição de transformações de Bäcklund coincidam com as superfícies obtidas pela transformação de Ribaucour. Mostramos que em geral este fato não é verdadeiro. Este resultado contrasta com o que ocorre nos casos de superfícies com curvatura Gaussiana constante positiva e curvatura média constante não nula. ______________________________________________________________________________ ABSTRACT

We consider linear Weingarten hyperbolic surfasses immersed in R3 such that the Gaussian curvature Kand theme na curvature H satisfy 1+2βH+γK = 0,whereβ,γ∈Randβ2−γ< 0. The first and second fundamental forms of these surfaces are completely determined by the solutions of the sine-Gordon equation ψx1x1−ψx2x2= sin(ψ+ Cβγ), where Cβγ is are alconstant determined by βandγ. From a linear Weingarten hyperbolic surfasse immersed in R3 satisfying 1+2βH+γK =0 we obtain new surfaces satisfying 1+2βH+γK= 0, using the geometric Bäcklund theorem for such surfaces. Using the composition of these geometric transformations we obtain the permutability theorem for linear Weingarten hyperbolic surfaces that provides a 4-parameter Family of surfaces satisfying 1+2βH∗+γK∗= 0. The analytical interpretation of these results is given in terms of solutions of the sine-Gordon equation. The analytic integrability theorem provides a Bäcklund transformation for solutions of this equation and the permutability theorem providesnew solutions by analgebraic process. Another method to obtain new linear Weingarten hyperbolic surfaces from a given surfasse satisfying 1+ 2βH + γK = 0 is the Ribaucour transformation that providesa4-parameter Family of such surfaces with the same constants βandγ. We determine necessary and sufficient conditions for the surfaces obtained by the composition of Bäcklund transformations to coincide with the surfaces obtained by a Ribaucour transformation. We prove that in general this fact is not true. This result contrasts with what happens in the case of surfaces of constant positive Gaussian curvature and surfaces of non zero constant me na curvature.