Espaço de Fock em redes fermiônicas e simetrias de Lie em processos de difusão não-lineares

Abstract

Neste trabalho estudamos classes de processos estocásticos através do uso de ferramentas fundadas em simetria: exploramos o conceito de representação do espaço de Fock para tratar redes de spin estocásticas e usamos métodos de simetria de Lie para obter equações de transporte generalizadas. Na representação número, desenvolvemos um formalismo para estudar redes fermiônicas, seguindo em paralelo aos métodos utilizados na descrição de bósons. Como aplicação, consideramos o modelo de Glauber linear em d dimensões e deduzimos a magnetização e a função de correlação por pares em termos dos operadores de criação e aniquilação. Com o objetivo de estender uma classe de equações de reação-difusão com coeficiente de difusão logarítmico, utilizamos os procedimentos de simetria de Lie. Partindo inicialmente de uma equação de reação-difusão com álgebra 4-dimensional conhecida, resolvemos o problema inverso, ou seja, encontramos todas as equações em uma dada classe que são invariantes por essa álgebra de simetria. A classe que consideramos primariamente é a de equações de Fokker-Planck não-lineares em que o termo de fonte é um monômio na função de distribuição. Também utilizamos esse procedimento a fim de obter classes de equações de difusão em meio poroso com dependência logarítmica no coeficiente de difusão e nos termos de fonte não-lineares. Adicionalmente, apresentamos soluções invariantes para casos particulares das classes de equações obtidas. ______________________________________________________________________________________ ABSTRACT

In this work we address the problem of analyzing stochastic processes through founded symmetry tools: we have explored the concept of Fock space representation to deal with stochastic spin lattices and used the Lie symmetry machinery to obtain generalized transport equations. In the realm of Fock space, we have developed a formalism to treat stochastic fermion-like lattices, following in parallel with the counterpart approach for the case of bosons. As an application, we have considered the d-dimensional linear Glauber model, deriving its magnetization and two-point correlation function in terms of creation and annihilation operators. In order to enlarge a class of transport equations with a logarithmic inhomogeneity of the diffusion coefficient, we have used the symmetry approaches. Starting from a reaction-diffusion equation with 4-dimensional symmetry algebra, we solved the inverse problem, namely, we have found all equations in a given class that are invariant under this symmetry algebra. The class we primary considered is that of nonlinear Fokker-Planck equations for which the source term is a monomial in the distribution function. We have also applied this approach to find a class of porous medium-like equations in which the logarithmic behavior still holds for both diffusity and nonlinear source terms. Some invariant solutions for particular cases of these generalized transport equations are presented.