Equações diofantinas envolvendo potências de termos de sequências recorrentes

Abstract

Seja (fórmula) a sequência de Fibonacci dada por (fórmula) para (fórmula), onde (fórmula) e (fórmula). Existem várias identidades interessantes envolvendo os termos desta sequência, como por exemplo a identidade quadrática (fórmula), para todo (fórmula). Isso nos diz que a soma de quadrados de dois números de Fibonacci consecutivos continua sendo um número de Fibonacci. Tendo em vista estudar o comportamento de somas mais gerais, em 2010, Marques e Togbé mostraram que se (fórmula), então existe apenas uma quantidade finita de números de Fibonacci da forma (fórmula) e, em 2011, Luca e Oyono encontraram todos esses exemplos. Seja (fórmula) a sequência de (fórmula)-bonacci dada pelos (fórmula) valores iniciais (fórmula) e tal que os demais termos são iguais à soma dos (fórmula) termos anteriores. Neste trabalho, estudamos uma generalização do resultado de Luca e Oyono: a equação Diofantina (fórmula). Mostramos que para (fórmula), ao contrário da sequência de Fibonacci, esta equação não possui soluções inteiras positivas (fórmula) e (fórmula) para (fórmula) e (fórmula). Para (fórmula), mostramos, sobre certas condições, que essa equação não possui soluções inteiras não triviais. Além disso, provamos, em particular, que se (fórmula) é uma sequência recorrente linear (sob hipóteses fracas) e (fórmula) para infinitos inteiros (fórmula), então (fórmula) é limitada por uma constante efetivamente calculável, que depende apenas de (fórmula) e dos parâmetros de(fórmula). _______________________________________________________________________________________ ABSTRACT

Let (Fn)n be the Fibonacci sequence given by Fn+2 = Fn+1 + Fn for n ≥ 0, where F0 = 0 and F1 = 1. There are several interesting identities involving this sequence such as the quadratic identity F?+F?= F? for all n≥0. This fact tells that the sum of squares of two consecutive Fibonacci numbers still belongs to the Fibonacci sequence. In order to study the behavior of more general sums, in 2010, Marques e Togbé showed that if s > 2, then there exist only finitely many Fibonacci numbers of the form F?+F? and, in 2011, Luca e Oyono found all these examples. Let ? be the k-generalized Fibonacci sequence which is defined by the initial values 0, 0, …, 0,1 (k terms) and such that each term afterwards is the sum of the k preceding terms. In this work, we study a generalization of Luca and Oyono’s result: the Diophantine equation ? + ? = F? We prove that for s = 2, contrarily to the Fibonacci case, this Diophantine equation has no solution in positive integers n,m and k with m > 1 and k ≥ 3. For s ≥ 3, we state, under certain conditions, that this Diophantine equation has no nontrivial solutions. Moreover, we also prove that if (G? is a linear recurrence sequence (under weak assumptions) and G?....+G? (Gm)m for infinitely many integers n > 0, then s is bounded by an effectively computable constant depending only on k and the parameters of Gm.