Involuções e seus centralizadores em grupos finitos

Abstract

Seja φ um automorfismo de ordem prima p de um grupo finito G. A estrutura do subgrupo de pontos fixos CG(φ) em G tem forte influência sobre a estrutura de G. Por exemplo, sabemos que se CG(φ) = 1, então G é nilpotente com classe de nilpotência limitada em termos de p [[10] e [25]]. É natural considerar que o centralizador CG(φ) satisfaz algumas condições, como ter posto finito r, e analisar quais são as consequências sobre a estrutura de G. Em [16] é apresentada a questão de determinar se é verdade que, dado um grupo finito nilpotente G admitindo um automorfismo φ de ordem prima p tal que CG(φ) tem posto r, G sempre possui um subgrupo normal N tal que o posto de G/N é limitado em termos de p e r somente e N possui classe de nilpotência limitada em função de p. Em [24], que é a referência principal deste trabalho, Shumyatsky mostra que a questão posta antes possui resposta afirmativa no caso particular em que p = 2, ou seja, quando φ é uma involução. Também se prova que, se eliminarmos a hipótese de G ser nilpotente, o posto do centralizador CG(φ) da involução φ continua tendo forte impacto sobre a estrutura de um grupo G de ordem ímpar. Além disso, em algumas situações é até possível limitar o comprimento derivado de G em termos do posto de CG(φ).