Os ideais de uma álgebra associativa gerados por comutadores e tópicos relacionados

Abstract

Seja A uma álgebra associativa unitária sobre um anel associativo, comutativo e unitário k . Defina o comutador normado à esquerda [a1, a2,..., an] (ai ϵ A) indutivamente por [a1, a2]=a1a2-a2a1; [a1, a2,..., an]=[[a1, ...an-1]. Para n ≥2, seja T(n) (A) o ideal bilateral de A gerado pelos comutadores [a1, a2,..., an] (ai Є A). Seja ɛ={e1, e2,...} um conjunto gerador da álgebra A. A primeira parte desta tese diz respeito aos elementos que geram T(n) (A) como um ideal bilateral em A. O objetivo principal dessa parte consiste em mostrar que 1. Se 1/(6 ) ∈k, então T(n) (A) é gerado como ideal bilateral pelos comutadores [u1, ..., un] em que u_i ε∪ ε^2. Se 1/(3 ) ∈k , então T(n) (A) é gerado como ideal bilateral pelos comutadores [u1, ..., un] em que u_i ∈ε∪ ε^2∪ε^3. Aqui ε^(k ) (k≥1) denota o conjunto dos elementos de A da forma ei1 ei2...eik ∈ ε. Para isso, em um primeiro momento, será descrito um método recursivo que permite obter um conjunto de geradores para o ideal T (n) (A) (n≥3), como ideal bilateral em A , a partir dos geradores de T (n-2) (A) . A demonstração dos itens 1 e 2 acima é feita com base nesse resultado. Seja Z <X> a álgebra unitária associativa livre sobre Z no conjunto X= {x1,x2...}. Considere sua série central inferior como álgebra de Lie, isto é, a série dos ideais de Lie L(i)= Z <X> definido recursivamente por L^((1),)=z<X>,L^((i+1) )=[L^((i) ),Z<x>], e a correspondente álgebra de Lie graduada associada B: i≥1Bi=L(i)/L(i+1). A segunda parte desta tese diz respeito a série central inferior de X Z . É bem conhecido que a imagem J de T(3) (Z<X>) em B1 é central na álgebra de Lie B. Além disso, sabe-se que o isolador de J é maior que J . O objetivo principal da segunda parte desta tese é mostrar que o isolador de J está contido no centro de B.