Formas aditivas sobre corpos p-ádicos

Abstract

Davenport e Lewis provaram uma versão da Conjectura de Artin que diz que, denotando por Γ* (k , p) o menor número de variáveis para o qual uma forma aditiva com coeficientes inteiros e grau k possui solução p−ádica não trivial, onde p é um número primo, então Γ* (k , p) ≤ k 2 +1 e a igualdade acontece quando p = k+1. Sabe-se que, em geral, quando k + 1 é composto essa cota é suficiente, mas não é necessária. Nessa tese melhoramos a cota dada pela conjectura e obtemos o número exato de variáveis necessárias para garantir a solubilidade p-ádica não trivial de uma forma aditiva de grau k com coeficientes inteiros, sempre que p − 1 divide k. Mais precisamente, escrevendo k = γq + r onde γ depende do grau k e0 ≤ r ≤ γ − 1, provamos que Γ* (k , p)≤( p γ−1) q+ p r , e a igualdade vale para os primos p tais que p − 1 divide k. Como aplicação desse resultado, mostramos que, se k = 54, então 1049 variáveis são suficientes para garantir a solubilidade p-ádica não trivial para todo p. Para k = 24, M. P. Knapp mostrou que são necessárias 289 variáveis para garantir a solubilidade p-ádica não trivial para todo p, entretanto, ainda como aplicação do resultado citado acima, provamos que, se p ≠ 13, então 140 variáveis são suficientes para garantir a solubilidade desejada. Além disso, encontramos o valor exato de Γ* (10 , p) para cada p primo.