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Title: Função de Wigner-80 anos e as origens da geometria não-comutativa
Other Titles: Wigner function at 80 years and the origins of noncommutative geometry
Authors: Amorim, Ronni Geraldo Gomes de
Fernandes, Marco Cezar Barbosa
Queiroz, Allyson Rivelli de
Santana, Ademir Eugênio
Vianna, José David Mangueira
Assunto:: Mecânica quântica
Função de Wigner
Espaços não comutativos
Issue Date: Sep-2013
Publisher: Sociedade Brasileira de Física
Citation: AMORIM, R.G.G. et al. Função de Wigner-80 anos e as origens da geometria não-comutativa. Revista Brasileira de Ensino de Física, São Paulo, v. 35, n. 3, p. 1-14, jul./set. 2013. DOI: https://doi.org/10.1590/S1806-11172013000300029. Disponível em: https://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S1806-11172013000300029&lng=pt&tlng=pt. Acesso em: 04 ago. 2020.
Abstract: O conceito de espaços não-comutativos tem origem com a formulação de Wigner da mecânica quântica no espaço de fase, em 1932. Em paralelo, Heisenberg foi o primeiro a propor relações de não-comutação entre as componentes do operador de posição. Essa possibilidade ganha formulação matemática com Snyder, ao estudar representações do grupo de De Sitter (4+1). Uma síntese desses trabalhos é o conceito de geometria não-comutativa, estabelecida a partir do produto de Moyal, que aparece no formulismo de Wigner. Além disso, este tipo de não-comutatividade é reencontrada em certos limites das teorias de cordas, gerando expectativas da mensuração da não-comutatividade espacial na física de altas energias. Neste trabalho, apresentamos uma revisão pedagógica sobre teorias físicas em espaços não-comutativos, a partir de uma perpectiva histórica. Destacamos as teorias de representação de grupos de simetria no espaço de fase, apontando dois aspectos de interesse, mas pouco conhecidos: (a) a noção de amplitude de probabilidade e a representação da equação de Schrödinger no espaço de fase (usualmente a representação no espaço de fase da mecânica quântica é construída através da matrix de densidade e da equação de Liouville-von Neumann); e (b) um trabalho de Dirac de 1930, onde foi introduzida pela primeira vez uma formulação da física quântica no espaço de fase.
Abstract: The concept of noncommutative space originates from the Wigner formulation of quantum mechanics in phase space in 1932. In parallel, Heisenberg was the first to propose noncommutative commutation relations between the components of the position operator. Such a possibility was mathematically described by Snyder, studying representations of the (4+1)-De Sitter group. A synthesis of such works is the concept of noncommutative geometry, established with the Moyal product, that arises in the Wigner formalism. In addition, such noncommutativity is found in some limits of string theory, giving rise to the possibility of measurements of spatial noncommutativity in high-energy physics. In this work, we present a pedagogical review of physical theories in noncommutative spaces, from a historical perspective. We emphasize the theory of symmetry group representations in phase space, and point out two important, but not so well-known, aspects: (a) the notion of amplitude of probability and the representation of the Schrödinger equation in phase space (usually, the phase space representation of quantum mechanics is derived from the density matrix and the Liouville-von Neumann equation); and (b) a work of Dirac in 1930, where a formulation of quantum physics was introduced by the first time.
Licença:: Revista Brasileira de Ensino de Física - Todo o conteúdo deste periódico, exceto onde está identificado, está licenciado sob uma Licença Creative Commons (CC BY NC). Fonte: https://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S1806-11172013000300029&lng=pt&tlng=pt. Acesso em: 05 dez. 2020.
DOI: https://dx.doi.org/10.1590/S1806-11172013000300029
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