Contribuições sobre as Constantes EGZ Ponderada e de Davenport

Abstract

A Constante de Erdös-Ginzburg-Ziv (denotada por s(G)) de um grupo aditivo abeliano finito G é o menor inteiro l tal que cada sequência sobre G de comprimento l possui uma subsequência de comprimento exp(G) = n cuja soma dos elementos é igual ao zero do grupo. A constante com pesos coprimos análoga a esta constante (denotada por sA(G)) é definida da mesma forma exceto que no lugar de considerar a soma de todos os elementos da subsequência pode-se optar por adicionar o elemento ou um múltiplo do elemento tal que os coeficientes da soma pertencem a A = {a ∈ ℤ ; mdc(a,n) = 1}. Determinamos o valor desta constante para p-grupos de posto 2, analisamos o problema inverso relacionado e obtivemos um limite superior para sA(G) em um caso mais geral. Em uma análise distinta, sejam p um primo, 𝑛∈ ℕ e 𝜑∈ ℤ𝑝[𝑥1,…,𝑥𝑛] um polinômio simétrico sobre o corpo ℤ𝑝. Considere que o polinômio é tal que podemos gerar o conjunto ℱ𝜑={𝜑𝑘 ;𝑘∈ ℕ}, onde cada 𝜑𝑘∈ ℤ𝑝[𝑥1,…,𝑥𝑘] representa o polinômio com o mesmo grau e os mesmos coeficientes de 𝜑, alterando-se o número de variáveis. Uma sequência T sobre ℤ𝑝 é uma sequência ℱ𝜑-zero se 𝜑𝑘 𝑇 = 0, para algum 𝑘∈ ℕ, e é chamada ℱ𝜑-zero livre se não contém subsequências ℱ𝜑-zero. Definimos a constante 𝐷(𝜑,ℤ𝑝) como sendo o menor inteiro l tal que cada sequência de comprimento l contém uma subsequência ℱ𝜑-zero. Também definimos o conjunto 𝑀(ℱ𝜑,ℤ𝑝) de todas as subsequências ℱ𝜑-zero livres de comprimento 𝐷 𝜑,ℤ𝑝 −1. Além disso, analisamos 𝐷(𝜑,ℤ𝑝) e 𝑀(ℱ𝜑,ℤ𝑝) no caso de polinômios simétricos quadráticos.