Voltage, current, impedance, power and linear transformations by means of quaternions

Abstract

Atualmente, o fasor é a ferramenta matemática mais conhecida e aplicada em sistemas elétricos de potência. Não obstante, ele apresenta desvantagens em condições de operação não-ideais (sistemas desequilibrados e/ou não lineares). Dessa forma, outras representações têm sido propostas e investigadas, tais como vetorial, tensorial, quaterniônica e as que empregam álgebra geométrica. Esta dissertação apresenta as vantagens e desvantagens da aplicação dos quatérnios em sistemas trifásicos. Para tanto, as bases teóricas e matemáticas são primeiramente estabelecidas. Em seguida, tensão e corrente, em condições equilibradas e desequilibradas, são analisadas geometricamente. Adicionalmente, uma versão quaterniônica das componentes simétricas no domínio do tempo é proposta, provendo um espaço de estados linear para a estimação delas a partir das amostras temporais. Ressalta-se que não existe, consoante o conhecimento atual dos autores, abordagem similar no domínio fasorial. Uma impedância/admitância trifásica quaterniônica também é definida para condições equilibradas e desequilibradas. A potência resultante dessa representação é discutida e comparada com outras teorias de potência. A componente reativa proposta é superior à resultante das vetoriais, devido ao fato de haver um significado claro atribuido à sua direção. Ademais, devido à sua natureza algébrica, as potências i) ativa, ii) reativa e iii) desequilibrada são representadas em eixos ortogonais. Assim, essa teoria pode ser empregada para o desenvolvimento de compensadores ativos de potência. Por fim, implementações quaterniônica das transformadas de Clarke e Park são estabelecidas. Em ambos os casos, são necessários menos elementos numéricos em comparação com a respectiva versão matricial tradicional. No caso de Park, o método proposto foi aproximadamente quatro vezes mais rápido. Em suma, esta dissertação provê os fundamentos para o desenvolvimento dos quatérnios dentro do contexto de sistemas de potência, assim como ressalta as suas possíveis aplicações.