Graded algebras with the neutral component satisfying a polynomial identity of degree 2

Abstract

Seja A uma álgebra associativa sobre um corpo F graduada por um grupo G, e "e" a unidade de G. Nesse trabalho, nós estudamos e respodemos os seguintes questionamentos: o que podemos dizer sobre A quando Ae é: 1) um anel nil? 2) um anel nilpotente? 3) uma subálgebra central em A? Nesse sentindo, nós estudamos a classe de todos os anéis graduados cuja a componente neutra é nil, e a classe de todas as álgebras graduadas com a componente neutra central na álgebra. Dessa forma, nós provamos que, dado um anel associativo R com uma S-graduação finita, onde S é um monóide à esquerda cancelativo, se Re é nil (resp. nil de índice limitado) e f-comutativo, então R também é um anel nil (resp. de índice limitado). Entre outros resultados, usando o Teorema de Dubnov-Ivanov- Nagata-Higman, nós obtemos uma importante aplicação de nossos resultados: dada uma F-álgebra R com uma finita S-graduação, se charpFq 0 e Re é nil de índice limitado, então R é nilpotente. Além disso, nós exibimos uma considerável relação entre anéis graduados e o Problema de Köthe. Na sequência, nós estudamos a variedade definida pelo conjunto de polinômios G-graduados trxpeq; ypgqs : g P Gu, onde G é um grupo. Dessa forma, nós provamos que se G é um grupo finito e abeliano, e F é um corpo algebricamente fechado de característica zero, então nós descrevemos um portador para variedade de todas as álgebras G-graduadas com a componente neutra central. Finalmente, nós provamos que, em certas condições, se uma álgebra graduada Ae satisfaz uma identidade polinomial f de grau 2, então A é nilpotente ou A tem a componente neutra comutativa.