O método rápido dos elementos de contorno com expansão em multipolos para problemas elástico- anisotrópicos em duas dimensões

Abstract

Este trabalho apresenta uma formulação do método dos elementos de contorno com expansão em multipolos rápidos (FMBEM) aplicado à análise de problemas elásticos anisotrópicos em duas dimensões. Equações integrais são obtidas usando a identidade de Somigliana. Soluções fundamentais de deslocamento e tração obtidas pelo formalismo de Lekhnitskii são usadas para transformar equações integrais de domínio em equações integrais de contorno. O contorno é discretizado em pequenos pedaços do contorno, chamados de elementos de contorno, considerando que deslocamentos e trações são constantes ao longo de cada elemento de contorno. As Integrais são divididas em campo próximo e campo distante. Campo próximo, quando os pontos fontes e os elementos de integração estão próximos, são tratados como no método do elemento de contorno padrão, ou seja, integrando ao longo do elemento e considerando a interação entre pontos fontes (nós) e os elementos. Por outro lado, no campo distante, quando os pontos fontes e os elementos de integração estão longes, o método dos multipolos rápidos é aplicado. Nesse caso, a solução fundamental é expandida em série de Laurent e a interação nó a nó é substituída por uma interação célula a célula. As células são geradas por uma decomposição hierárquica do domínio usando o algoritmo quad-tree. Diferentes operações de multipolos rápidos são usadas para tirar vantagem da decomposição hierárquica do domínio e das expansões das soluções fundamentais. As matrizes de influência nunca são explicitamente obtidas e o produto matriz-vetor pode ser realizado com complexidade linear. O sistema linear é resolvido por um método iterativo. Nesta tese o método dos resíduos mínimos generalizados (GMRES) foi escolhido com base em trabalhos anteriores. Uma matriz de precondicionamento é usada para reduzir o número de iterações para obter um resultado com a precisão especificada. A eficácia e eficiência na solução de problemas de larga escala são discutidas. A formulação apresentada nesta tese é baseada em uma representação de variáveis complexas dos integrandos, similar à formulação desenvolvida anteriormente para problemas potenciais (escalares). A validação é realizada através da comparação dos resultados obtidos pelas duas formulações: o método dos elementos de contorno padrão e o método dos elementos de contorno com expansão em multipolos rápidos. Analisa-se a influência do número de termos da expansão em séries no cálculo das soluções fundamentais e das matrizes de influência. O custo computacional de ambas as formulações é comparado. Exemplos numéricos são apresentados para demonstrar a eficiência, a precisão e os potencial do método dos elementos de contorno com expansão em multipolos rápidos para resolver problemas elásticos anisotrópicos de larga escala, ou seja, com dezenas de milhares de graus de liberdades.