Sobre centralizadores de automorfismos coprimos em grupos finitos

Abstract

Seja p um número primo. Seja A um p-grupo abeliano elementar agindo sobre um p´-grupo finito G. Neste trabalho realizamos um estudo da infuência dos centralizadores dos automorfismos em A sobre a estrutura de G . Nesse sentido demonstramos que se A tem ordem pn+1 e assumindo que existe um inteiro positivo m tal que(fórmula) [CG(a)(d);CG(b)(d); … ;CG(b)(d)] = 1; m para todos a; b ϵ A#, onde 2d ≤ n, então G(d) é nilpotente de classe {p,n,m}- limitada; d;mg-limitada. Ainda, assumindo que existe um inteiro positivo m tal que (fórmula) [Ƴn(CG(a)); Ƴ n(CG(b)); ... ; Ƴ n(CG(b))] = 1 m para todos a; b ϵ A#,então Ƴ n(G)é nilpotente de classe {p,n,m}- limitada. Outro resultado é, se A tem ordem p2 e assumindo que o subgrupo, satisfaz uma lei positiva de grau n para todos a; b ϵ A#, então G satisfaz uma lei positiva de grau limitado por uma função dependendo somente de n e p. ______________________________________________________________________________________ ABSTRACT

Let p be a prime number. Let A be an elementary abelian p-group acting on a ifnite p´-group G. In this work we study the in uence of the centralizers of the automorphisms in A on the structure of G. We show that if A has order pn+1 and if there exists a positive integer m such that [CG(a)(d);CG(b)(d); … ;CG(b)(d)] = 1; m for all a; b ϵ A#, where 2d ≤ n, then G(d) is nilpotent of {p,n,m}- d;mg-bounded class. We also show that if there exists a positive integer m such that [Ƴn(CG(a)); Ƴ n(CG(b)); ... ; Ƴ n(CG(b))] = 1 m for all a; b ϵ A#, then Ƴ n(G) is nilpotent of fp; n;mg-bounded class. Another result is that if A has order p2 and the subgroup satisfies a positive law of degree n for all a; b ϵ A#, then G satisfies a positive law of degree bounded by a function depending only on n and p.