Partições minimais de grupos

Abstract

Seja G um grupo finito. Uma cobertura de G é uma lista de subgrupos próprios H1; : : : ;Hn de G com a propriedade de que G = H1[ [Hn. Uma cobertura de G é dita ser uma partição de G se Hi \ Hj = 1, sempre que i 6= j. Neste caso, dizemos que G é particionável. Os grupos particionáveis foram completamente classificados por Baer, Kegel e Suzuki em 1961. Vamos usar a notação (G) para o tamanho de uma cobertura de menor cardinalidade de G, dita cobertura minimal (usaremos a convenção (G) = 1quando G for cíclico), e vamos usar a notação (G) para o tamanho de uma partição minimal de G, se G é particionável. Claramente, para um grupo particionável temos que (G) 6 (G) pois toda partição é uma cobertura. Assim, no presente texto estamos interessados em explorar propriedades da igualdade (G) = (G). Se G é um grupo particionável, obtemos que (G) = (G) se, e somente se, G é um produto direto Cp Cp, para algum primo p, ou G é um grupo de Frobenius sendo o núcleo de Frobenius um subgrupo normal minimal abeliano com complementos de Frobenius cíclicos. Além disso, calculamos para todos os grupos projetivos particionáveis.