Sobre a soma das ordens de elementos de um grupo finito

Abstract

Seja G um grupo finito. Denote por ψ(G) a soma das ordens de todos os elementos de G. A função ψfoi considerada inicialmente por H. Amiri, S.M. JafarianAmiri e I.M. Isaacs, em [AAI09], onde foi mostrado que o valor máximo de ψ, sobre os grupos de mesma ordem n, ocorre no grupo cíclico C_n. Em [HLM18a], M. Herzog, P. Longobardi e M. Maj deram uma cota superior exata para ψ(G) sobre os grupos não- cíclicos de mesma ordem. Em [AA11] e [AmiJ13], H. Amiri e S.M. JafarianAmiri estudaram problema de encontrar o valor mínimo para ψ(G) sobre todos os grupos de mesma ordem. Um dos objetivos deste trabalho é discorrer sobre estes resultados e problemas similares. Além disso, dado um inteiro positivo k, defina ψ_k(G) como sendo a soma das k- ésimas potências das ordens de todos elementos de G. Mostraremos algumas propriedades básicas sobre ψ_k(G) e que, para G não-cíclico, ψ_k(G) é limitado superiormente por 1/(q-1)^k ψ_k(C_n) onde q é o menor divisor primo de n=|G|.