Otimização multiobjetivo do método de contorno sem malha em problemas de potencial

Abstract

Em geral, os problemas de engenharia são descritos por equações diferenciais que não possuem solução analítica para geometrias e condições de contorno complexas. Logo, os métodos numéricos são de grande importância, permitindo a obtenção de soluções aproximadas com alta acurácia. Entretanto, os métodos numéricos mais conceituados atualmente realizam a discretização do modelo por meio de uma malha. O processo de criação da malha demanda um alto custo computacional. Além disso, a necessidade da malha pode levar a outros problemas, como a obtenção de elementos distorcidos durante o processo e a dependência de um complicado processo de remalhamento em problemas não-lineares. Nesse contexto, os métodos sem malha tornam-se atrativos, pois não necessitam de conectividade entre os nós para aproximar as variáveis. Este trabalho apresenta a formulação de um novo Método de Contorno Sem Malha (MCSM), com aplicações em problemas bidimensionais de potencial regidos pela equação de Laplace. Este método elimina a necessidade de uma malha para a aproximação das variáveis, ao utilizar as funções de forma do Método dos Mínimos Quadrados Móveis. Além disso, limita a necessidade de discretização ao contorno do corpo, ao utilizar as equações integrais de contorno em sua formulação. Visando superar as limitações comuns dos métodos sem malha (dependência de parâmetros de discretização e de distribuições nodais arbitrários), este trabalho associa a formulação do MCSM a um processo de otimização multiobjetivo. Esta otimização, realizada por meio de Algoritmos Genéticos, gera discretizações ótimas no sentido de Pareto de forma automática. Dessa forma, não há necessidade de intervenção humana no processo de discretização. O processo de otimização usa funções objetivos eficientes, que garantem o bom funcionamento do modelo sem necessidade do conhecimento da solução analítica do problema. Ao final do trabalho, o MCSM foi aplicado a três problemas benchmark de potencial bidimensional regidos pela equação de Laplace para que a acurácia e eficiência da estratégia de modelagem fosse avaliada. Os resultados obtidos apresentaram erros baixos em relação aos resultados analíticos esperados, mostrando que a modelagem proposta é confiável.