Comportamento particular e universal para a dinâmica de crescimento : de autômatos celulares à equação Kardar-Parisi-Zhang (KPZ)

Abstract

Neste trabalho desenvolvemos um método para obter a equação de KardarParisi-Zhang (KPZ) a partir do modelo de corrosão (Etching Model) desenvolvido por Mello et al. O modelo é um autômato celular cujas regras de remoção de átomos simula a corrosão de um cristal por um ácido. Partindo dessas regras atomísticas, consideramos os efeitos coletivos e definimos uma função de probabilidade de diferenças de alturas, P(η, t), onde η = hi − hj é a diferença de altura entre o sítio i e o seu vizinho j e t é o tempo. Deste modo P(η, t) representa bem a dinâmica do processo que é dada pela interação entre os primeiros vizinhos. Seguindo essa dinâmica observamos que a probabilidade torna-se rapidamente estacionaria, antes de atingirmos a região de não-linearidade característica de KPZ. Deste modo podemos tratá-la como simplesmente P(η). Finalmente, passando ao limite contínuo mostramos que o modelo de corrosão (Etching Model) leva `a equação KPZ. Deste modo confirmamos que o modelo realmente pertence `a classe de universalidade KPZ. Além disso, mostramos que os coeficientes da equação KPZ podem ser obtidos em função de P(η), deste modo obtemos um processo autoconsistente. Isto nos leva a um método para obter o expoente de rugosidade α. Finalmente, aplicamos o mesmo método para estudar o modelo Single-Step (SS). Em 1+1 dimensão obtivemos o resultado exato. Para d+1 dimensões comparamos o modelo de corrosão (Etching Model) com o modelo Single-Step. Nossos resultados mostram as diferenças e semelhanças entre esses modelos.