Simetria, compacidade e multiplicidade de soluções para um problema elíptico semilinear em Rn.

Abstract

Mostramos que o problema elíptico semilinear ( − u + b(|x|)u = f(|x| , u) u E C2(RN) , onde b : [0,∞) → R é uma função contínua limitada inferiormente por uma constante positiva e f : [0,∞)×R → R é uma função contíınua satisfazendo certas condições de crescimento (subcrítico e superquadrático) e convexidade, possui soluções radiais com qualquer quantidade finita prescrita de nós para N > ou = 2. Também mostramos que, se a hipótese de convexidade for substituíıda pela hipóotese de que f é não-decrescente e íımpar com respeito à variável u, entáo o problema possui ao menos uma solução não-radial para N = 4 ou N > ou = 6. A falta de compacidade em domíınios ilimitados é superada com a restrição a subespaços de funções invariantes pela ação de subgrupos do grupo O(N) das transformações lineares ortogonais de RN e os objetivos são alcançados combinando-se o Teorema do Passo da Montanha e o Princípio da Criticalidade Simétrica. Para a obtenção das soluções radiais nodais, aplicamos o método de Nehari de concatenação de soluções positivas e negativas em regiões anulares vizinhas. ____________________________________________________________________________________________________________ ABSTRACT

We show that the semilinear elliptic problem - ∆u + b(|x|)u = f(|x|,u) u Є C2(RN), where b : [0, ∞) → R is a continuous function bounded below by a positive constant and e f : [0, ∞) x R → R is a continuous function for which certain growth (subcritic and superquadratic) and convexity conditions hold, has radial solutions with a any prescribed finite number of nodes, for N ≥ 2 . We also show that if the convexity hypothesis is replaced by f nondecreasing and odd with respect to the variable u, then the problem still has at least one nonradial solution, for N =4 or N ≥ 6. The lack of compactness is overcome by the restriction to subspaces of functions invariant under the action of subgroups of the group O(N) of the orthogonal linear transformations of RN, and the results are achieved through a combination of the Mountain Pass Theorem and the Principle of Symmetric Criticality. Nodal radial solutions are constructed following the method of Nehari of piecing together positive and negative solutions on alternating annuli.