Superfícies mínimas de translação no espaço Euclidiano

Abstract

Uma superfície de translação no espaço Euclidiano de três dimensões é uma superfície gerada pela soma de duas curvas, chamadas curvas geradoras. Nesta dissertação, estudamos superfícies de translação mínimas, baseado nos trabalhos de Rafael López e Óscar Perdomo e de Thomas Hasanis e Rafael López. Primeiramente, baseado no trabalho de Rafael López e Oscar Perdomo, apresentamos uma caracterização das superfícies mínimas de translação no caso em que as curvas geradoras são curvas não planas. Tal caracterização é dada através de uma relação entre curvatura e a torção de ambas curvas, a saber, o produto do quadrado da curvatura pela torção é constante. Além disso, a menos de um movimento rígido, uma dilatação e uma reparametrização das curvas geradoras destas superfícies, todas elas podem ser descritas por curvas geradoras congruentes e determinadas por dois parâmetros reais $a$ e $b$. Em seguida, baseado no artigo de Thomas Hasanis e Rafael López, apresentamos resultados de classificação para estas superfícies e um método para a construção de exemplos. Além do plano e das superfícies do tipo Scherk, a classificação é dada em termos de soluções de uma classe de equações diferenciais ordinárias autônomas, em que tais soluções fornecem as curvaturas das curvas geradoras das superfícies, enquanto as respectivas torções serão determinadas por uma equação que depende somente da curvatura e de uma constante. Finalmente, através do método de construção apresentado, serão exibidos alguns exemplos.