Parametric quantile regression for extreme events

Abstract

A teoria dos valores extremos tem se mostrado muito útil para problemas envolvendo eventos raros e extremos em diversas áreas. Por um longo tempo, as questões ambientais envolvendo principalmente hidrologia e engenharia foram as que mais utilizaram essa teoria. A distribuição de valores extremos generalizados (GEV), desenvolvida por Jenkinson (1955) and Jenkinson (1969), é amplamente utilizada para modelar extremos de eventos naturais, tais como precipitações e temperaturas máximas, e o modelo GEV é de considerável importância para a área ambiental. No entanto, outras áreas como medicina, seguros e setor fianceiro também se beneficiam dessa metodologia, ver, por exemplo Embrechts, Kluppelberg, and Mikosch (1997), Reiss and Thomas (2001), Coles (2001), Haan and Ferreira (2006) e Beirlant, Caeiro, and Gomes (2012). Uma outra distribuição que também vem ganhando atenção em diversas áreas é o modelo Birnbaum-Saunders (BS); ver, por exemplo, Leiva, Sanhueza, and Angulo (2009), Vilca et al. (2010), Saulo et al. (2013), Leiva et al. (2015), Leiva (2016), Balakrishnan and Kundu (2019) e Oliveira et al. (2022). A distribuição BS está relacionada com o modelo normal e é muito útil para modelar dados estritamente positivos e assimétricos. Uma aplicação proeminente dos modelos BS está na teoria dos valores extremos. Ferreira, Gomes, and Leiva (2012) propôs a distribuição de valores extremos BS (EVBS) alterando a normal usual, na representação estocástica do modelo BS, pela distribuição GEV. Os autores aplicaram o modelo proposto a dados reais atmosféricos. Além disso, Leiva et al. (2016) propuseram um modelo de regressão baseado na distribuição EVBS. O modelo de regressão foi ilustrado através da utilização de dados ambientais e é uma ferramenta muito útil na modelagem de eventos extremos. No entanto, esse modelo é implementado adicionando covariáveis ao parâmetro de localização, o que resulta em uma descrição da variável dependente com base na média. Os modelos de regressão quantílica são uma alternativa à regressão usual baseada na média, pois apresentam como resultados os efeitos das covariáveis sobre a variável resposta nos diferentes quantis de sua distribuição, ou seja, proporciona uma análise ao longo de toda a distribuição condicional; veja Cade, Terrell, and Schroeder (1999), Koenker (2005) e Wei et al. (2006). A média como única medida sumária geralmente é insuficiente para uma avaliação de risco, pois é altamente afetada pela grande variabilidade dos dados e presença de outliers, que podem ser raros, mas suficientes para causar catástrofes na área ambiental e insolvência de seguradoras, por exemplo. Desse modo, dada a importância da regressão quantílica para estimar os efeitos das covariáveis ao longo do espectro da variável resposta, o objetivo principal deste artigo é propor um modelo de regressão quantílica paramétrica baseado na Birnbaum-Saunders de valor extremo. Para tanto, descrevemos a distribuição usual de EVBS (Ferreira, Gomes, and Leiva, 2012) e propomos uma reparametrização dessa distribuição inserindo um parâmetro que representa o quantil da distribuição, chamado Q, onde Q é o 100q-ésimo quantil de uma variável aleatória T seguindo uma distribuição Birnbaum-Saunders de valor extremo, essa distribuição formulada é denotada por QEVBS. Também estabelecemos alguns resultados relativos à propriedade de uni e bimodalidade, representação estocástica e distribuições relacionadas da distribuição QEVBS. Apresentamos o modelo de regressão QEVBS baseado no quantil, uma abordagem baseada em verossimilhança para estimativa de parâmetros, bem como a função de probabilidade logarítmica, vetor de pontuação, e consideramos dois tipos de resíduos: Cox-Snell generalizado e resíduos quantílicos aleatórios. Um estudo de simulação de Monte Carlo (MC) é realizado para avaliar numericamente o desempenho estatístico dos estimadores de máxima verossimilhança (ML) através do viés e do erro quadrático médio (EQM) e a distribuição empírica dos resíduos. Foram realizadas duas simulação de MC e considerados cinco quantis e três tamanhos amostrais para cada uma delas. Para ilustrarmos a metodologia proposta, foi utilizado um conjunto de dados ambientais reais coletados na região central de Santiago-Chile entre julho e setembro de 2021, que é analisado pela primeira vez aqui. Os dados se referem a concentração máxima diária de ozônio (variável resposta) e a temperatura máxima diária (covariável), assim correspondem a valores máximos, que são intrinsecamente valores extremos, e o modelo de regressão QEVBS pode ser adequado para descrever a relação entre as variáveis. Os resultados do primeiro estudo de simulação MC mostraram bom desempenho dos estimadores de máxima verossimilhança obtendo valores empíricos de viés próximos de zero e, em geral, à medida que o tamanho da amostra aumenta, o EQM diminui. Os resultados da segunda simulação mostraram que os resíduos generalizados de Cox-Snell e quantis aleatórios se comportam de acordo com suas distribuições de referência. Na aplicação do modelo, QQ plots com envelope para Cox-Snell generalizado e resíduos quantílicos aleatórios mostraram um bom ajuste do modelo proposto. Também comparamos o modelo de regressão quantílica de Birnbaum-Saunders de valor extremo proposto com outros modelos comumente usados na literatura de valores extremos (modelos GEV, Weibull e Gumbel) e os resultados se mostram bastante favoráveis ao modelo proposto.