Variedades de grupos e generalizações verbais para o problema restrito de Burnside

Abstract

Neste trabalho abordamos os seguintes problemas, que generalizam o Problema Restrito de Burnside. 1. Sejam n um inteiro positivo e w uma palavra. Seja X a classe de todos os grupos G satisfazendo a identidade wn 1 e tendo o subgrupo verbal w(G) localmente finito. Será que X é uma variedade? 2. Sejam n um inteiro positivo e w uma palavra. Suponhamos que G é um grupo residualmente finito tal que todo w-valor tem ordem dividindo n. Será que o subgrupo verbal w(G) é localmente finito? No caso em que w = x, ambos tratam exatamente do Problema Restrito de Burnside que, de acordo com Zelmanov, tem resposta positiva. Discutimos resultados que apresentam respostas para muitas outras palavras w. Nossas principais contribuições são generalizações de resultados envolvendo comutadores multilineares e palavras de Engel. No desenvolvimento, somos levados a aplicar as técnicas Lie-teóricas introduzidas por Zelmanov. _________________________________________________________________________________ ABSTRACT

We study the following questions that generalize the Restricted Burnside Problem. 1. Let n be a positive integer and w a group-word. Consider the class of all groups G satisfying the identity wn 1 and having the verbal subgroup w(G) locally finite. Is that a variety? 2. Let n be a positive integer and w a group-word. Suppose that G is a residually finite group in which any w-value has order dividing n. Is the verbal subgroup w(G) locally finite? In the case w = x the questions are precisely the Restricted Burnside Problem. According to Zelmanov this has positive solution. We show that the answer is positive for many other words w. The new results that we present are about multilinear commutators and Engel words. Our main tool is Zelmanovs techniques created in his solution of the Restricted Burnside Problem.