Bivariate log-symmetric models : theoretical properties and parameter estimation

Abstract

A distribuição gaussiana bivariada tem sido a base da probabilidade e da estatística por muitos anos. No entanto, esta distribuição enfrenta alguns problemas, principalmente devido ao fato de que muitos fenômenos do mundo real geram dados que seguem distribuições assimétricas. Modelos log-simétricos bidimensionais possuem propriedades atrativas e podem ser considerados boas alternativas para resolver este problema, pois possuem propriedades estatísticas que podem torná-las preferíeis a distribuição guassiana. Nesta dissertação, propomos novas caracterizações de distribuições log-simétricas bivariadas e suas aplicações. Esta dissertação visa desenvolver importantes contribuições para a estatística probabilística, teórica e aplicada devido à flexibilidade e propriedades interessantes dos modelos descritos. Teoricamente, uma distribuição é log-simétrica quando a variável aleatória correspondente e sua recíproca têm a mesma distribuição (ver Jones 2008). Uma caracterização de distribuições desse tipo pode ser construída tomando a função logaritmo de uma variável aleatória simétrica. Portanto, distribuições log-simétricas são usadas para descrever o comportamento de dados estritamente positivos. A classe desse tipo de distribuição é bastante ampla e inclui grande parte das distribuições bimodais e aquelas com caudas mais leves ou mais pesadas que a distribuição log-normal; ver, por exemplo, Vanegas e Paula (2016). Alguns exemplos de distribuições log-simétricas são: log-normal, log-Student-t, log-logistic, log-Laplace, log-Cauchy, log-power-exponencial, log-slash, harmonic law, Birnbaum-Saunders, e Birnbaum-Saunders-t; ver, por exemplo, Crow e Shimizu (1988), Birnbaum e Saunders (1969), Rieck e Nedelman (1991), Johnson et al. (1994), 1995, Díaz-García e Leiva (2005), Marshall e Olkin (2007), Jones (2008) e Vanegas e Paula (2016). Estudamos as principais propriedades estatísticas dos modelos, no capítulo 1 apresentemos o modelo log-simétrico bivariado (BLS) proposto, ademais neste capítulo as principais propriedades matemáticas, como representação estocástica,função quantil, distribuição condicional, distância Mahalanobis, independência, momentos, função de correlação, entre outras propriedades do modelo BLS são discutidas. No capítulo 2, propomos o método de máxima verossimilhança para a estimação dos parâmetros das distribuições propostas. No capítulo 3, realizamos a simulação de Monte Carlo para avaliar a performance dos estimadores de máxima verossimilhança, utilizando o viés e o Erro Quadrático Médio, considerando vários cenários para diferentes distribuições, o que mostrou bons resultados com valores próximos a zero. No Capítulo 4, realizamos a aplicação a um conjunto de dados reais refentes a fatigue, os dados são baseados no artigo de Marchant et al. (2015), no qual ele propôs um modelo de regressão multivariado Birnbaum-Saunders, realizamos a estimação dos parâmetros utilizando o método de Máxima verossimilhança e usamos as seguintes váriaveis Von Mises stress (T1) e die limetime (T2), para a estimação dos parâmetros extras utilizamos estimação perfilada, além disso computamos os valores de critério de informação de Akaike (AIC) e Bayesiano (BIC), para utilizarmos como critério de seleção de modelo. Os resultados são vistos como favoráveis ao modelo log-Laplace.