Grupos de Dëmushkin

Abstract

Os grupos de Dëmushkin compõem uma classe de destaque entre os grupos profinitos: são aqueles grupos pro-p que satisfazem uma condição cohomológica análoga à clássica dualidade de Poincaré em dimensão 2. Eles ocorrem naturalmente como quocientes pro-p maximais de grupos de Galois de corpos locais e completamentos pro-p de grupos de superfície. Esta dissertação apresenta a demonstração do Teorema de Classificação dos Grupos de Dëmushkin como obtido através dos trabalhos de S. Dëmushkin, J.P. Serre e J. Labute entre 1961 e 1967. Esta dissertação também coleta, em uma única fonte, as recentes demonstrações de 2019 e 2020 da validade entre os grupos de Dëmushkin da propriedade de Howson, da existência de retrações virtuais para subgrupos topologicamente finitamente gerados e da conjectura de Hanna Neumann, seguindo os artigos publicados por P. Zalesskii, M. Shusterman e A. Jaikin-Zapirain, bem como a caracterização dos grupos pro-p que satisfazem a propriedade de M. Hall. Para estes fins, a teoria (co-)homológica dos grupos profinitos e pro-p e algumas de suas aplicações são desenvolvidas a partir da álgebra elementar dos grupos, além de também realizarmos um estudo da teoria de Bass-Serre profinita de grupos agindo em árvores.