Aplicação do método dos elementos de contorno com expansão em multipolos e abordagem isogeométrica em problemas elásticos anisotrópicos

Abstract

Esta tese apresenta uma análise isogeométrica do Método dos Elementos de Contorno (MEC Isogeométrico) juntamente com o método da expansão em multipolos rápidos (do acrônimos em inglês - FMM), aplicado a problemas elásticos anisotrópicos em plano bidimensional. A solução fundamental anisotrópica de Lekhnitskii é utilizada, e nela existem singularidades. A do tipo fraca do núcleo de deslocamento, é tratada com o método da transformada de Telles, enquanto que a singularidade forte do núcleo da força de superfície é tratada pelo método da subtração de singularidade (do acrônimos em inglês - SST). As funções de forma utilizadas neste trabalho são as B-Splines Racionais Não Uniformes (do acrônimos em inglês - NURBS). Assim, a mesma representação matemática do Desenho Assistido por Computador (do acrônimos em inglês - CAD) é utilizada no código computacional desenvolvido, evitando a geração de malhas e fornecendo representação exata para maioria das geometrias complexas utilizadas na análise de engenharia. Além do FMM, a fim de melhorar mais a eficiência numérica do código, reduzindo o custo computacional, as NURBS são decompostas em curvas de Bézier sem a perda das propriedades de continuidade, utilizando a decomposição de Bézier. Desta forma, a formulação isogeométrica se torna similar ao método dos elementos de contorno convencional. Como as matrizes do sistema algébrico não são explicitamente montadas devido ao FMM, é necessário usar um método iterativo para resolver o sistema de equações lineares. O método dos mínimos resíduos generalizados (do acrônimos em inglês - GMRES) foi escolhido, de acordo com sua eficácia notada em trabalhos anteriores e conforme a literatura. Para avaliar a acurácia da formulação, diferentes exemplos numéricos aplicados para materiais quase-isotrópicos, anisotrópicos e ortotrópicos são analisados. Os resultados numéricos do MEC isogeométrico e sua versão acelerada pelo FMM, são comparadas com soluções analíticas, e mesmo com poucos graus de liberdade, mostram que possuem boas precisões numéricas. Além destes, a formulação acelerada também foi aplicada em problemas de larga escala, modelos com milhares de graus de liberdade, provando que é mais rápida que o MEC isogeométrico, e portanto, é uma formulação muito indicada para problemas elásticos em larga escala, principalmente para geometrias que são mais indicadas o uso de elementos de contorno de alta ordem.