Algoritmo LLL e Magma na resolução de inequações diofantinas exponenciais e somas de potências de Fibonacci

Abstract

Nos meandros da matemática, encontra-se um fascinante desa o que tem intrigado mentes brilhantes há séculos: as desigualdades e equações exponenciais Diofantinas. Estas representam uma esfera de estudo rica e complexa, onde as propriedades intrínsecas das potências lançam enigmas profundos para serem decifrados. O que torna estas equações tão cativantes é sua capacidade de se entrelaçarem com os princípios fundamentais da teoria dos números, abrindo portas para novos horizontes de compreensão matemática. Motivados pela curiosidade incessante que caracteriza este campo, lançamo-nos na jornada para explorar as soluções por trás dessas desigualdades e equações exponenciais. Nosso foco repousa sobre as desigualdades exponenciais Diofantinas do tipo |p x−q y | < pγx, bem como na intrigante equação exponencial Diofantina T s n + T s n+1 = Fm, construída sobre as sequências de Fibonacci. Para tal investigação, empregamos o poderoso algoritmo LLL, uma ferramenta concebida por Lenstra, Lenstra e Lovász, que desvela padrões ocultos e revela estruturas subjacentes em espaços vetoriais, contamos também com a assistência do so sticado software de álgebra computacional Magma, uma ferramenta que potencializa nossa capacidade de análise.