Splittings of profinite groups and its applications

Abstract

Nessa tese estudamos um dos principais objetos da teoria combinatória de grupos profinitos: decomposições de grupos profinitos como extensões HNN ou produtos livres amalgamados. Respondemos três problemas em aberto propostos por Luis Ribes em seu livro de 2017 "Profinite Graphs and Groups" (veja Open Questions 6.7.1, 15.11.10 e 15.11.11 de [31]). Esses resultados generalizam os teoremas principais de [7] e [45]. Também generalizamos a versão pro-p do célebre Teorema da decomposição de Stallings para decomposições sobre grupos pro-p infinitos. Essa construção estende consideravelmente o resultado de Weigel-Zalesski de 2017 e não possui correspondente no caso abstrato. Por fim, mostramos que a acessibilidade generalizada de grupos pro-p finitamente gerados é fechada para comensurabilidade. Produtos amalgamados profinitos e extensões HNN profinitas podem ser considerados casos particulares de um grupo fundamental de grafo de grupos, o qual denotaremos por Π1pG, Γq. Dessa forma, se dado grupo profinito G possui uma decomposição G “ Π1pG, Γq para algum grafo profinito de grupos pG, Γq, obtemos não só propriedades do grupo G mas também de grafo de grupos pG, Γq. Na primeira parte, dado um grupo abstrato G que se decompõe como o grupo fundamental de um grafo infinito de grupos, construímos um grafo profinito de grupos pG, Γq tal que Γ mergulha em Γ e o completamento profinito de G se decompõe como Gp “ Π1pG, Γq. Isso responde um Problema em Aberto de Ribes. Com essa construção em mãos, respondemos dois outros Problemas em Aberto de Ribes. O primeiro está relacionado com o fecho de normalizadores e generaliza o teorema principal de um artigo escrito por Ribes e Zalesski (cf. [34]). O segundo está relacionado com a separabilidade por conjugação de subgrupo de grupos virtualmente livres, generalizando o resultado principal de um artigo escrito por Chagas e Zalesski (cf. [7]). Nossa estratégia para resolver os problemas supracitados foi descrever o grupo fundamental profinito de um grafo de grupos na linguagem de caminhos. Essa nova definição se comporta bem quando da aplicação de limites inversos, o que facilita a interrelação entre as configurações abstrata e profinita da Teoria de Bass-Serre. Continuamos nossa jornada investigando o célebre Teorema da Decomposição de Stallings. Este estabelece que a decomposição de um subgrupo H de índice finito de um grupo finitamente gerado G como um produto livre amalgamado ou uma extensão HNN sobre um grupo finito implica o mesmo para G. A versão pro-p desse resultado foi obtida por Weigel e Zalesski (cf. [45]) em 2017. Nós mostramos que, na categoria de grupos pro-p, os teoremas de decomposição valem além de cisões sobre grupos finitos. Se G é um grupo pro-p finitamente gerado que possui um subgrupo normal aberto H que se decompões como H “ Π1pH, ∆q, e supomos que classes de conjugação de grupos de vértices são G-invariantes, então G também se decompõe como G “ Π1pG, Γq (cf. Teorema 11). Se H é um produto pro-p livre não trivial obtemos, como um caso particular, o Teorema de Weigel-Zalesski supracitado. A principal ferramenta por trás da demonstração é nosso Teorema da Limitação, que estabelece um limitante para EpΓq, a saber |EpΓq| ď |Ep∆q|. Acrescentamos ao nosso Teorema da Limitação o seguinte resultado: se G é um grupo pro-p finitamente gerado que possui um subgrupo normal aberto H agindo sobre uma árvore pro-p T, com tHv | v P V pTqu sendo G-invariante, então G se decompõe como G “ Π1pG, Γq. Com esses resultados em mãos, obtemos uma poderosa aplicação: a acessibilidade generalizada de grupos pro-p finitamente gerados é fechada para comensurabilidade. Finalizamos a tese mostrando que nosso Teorema 9 também vale para o exemplo de grupo pro-p inacessível dado por Wilkes.