Algumas álgebras de Lie sem base finita para suas identidades

Abstract

Seja K um anel associativo, comutativo e com unidade e seja LhXi a ´algebra de Lie livre sobre K, livremente gerada por X = {x1, x2, . . .}. Seja f = f(x1, . . . , xn) 2 LhXi e seja G uma ´algebra de Lie sobre K. Dizemos que f = 0 ´e uma identidade em G, se f(g1, . . . , gn) = 0, para todo g1, . . . , gn 2 G. Dois sistemas de identidades {ui = 0 | i 2 I} e {vj = 0 | j 2 J} s˜ao equivalentes, se toda álgebra de Lie sobre K satisfazendo todas as identidades ui = 0, satisfaz todas as identidades vj = 0 e vice-versa. Se o sistema de identidades {ui = 0 | i 2 I} ´e equivalente a algum sistema finito de identidades, então dizemos que o sistema {ui = 0 | i 2 I} tem uma base finita. Nesta dissertação, demonstraremos que, sobre um corpo de caracter´ıstica 2, o sistema de identidades de álgebras de Lie formado pelas identidades [[x1, x2], [x3, x4], x5] = 0 e [[x1, x2, x3, . . . , xn], [x1, x2]] = 0 (n = 3, 4, . . .) não tem base finita. Provaremos também que, sobre um corpo infinito K de característica 2, a ´algebra de Lie gl2(K) das matrizes 2 × 2 não tem base finita para suas identidades. Finalmente, mostraremos que a álgebra de Lie M, de todas as matrizes 3 × 3 sobre Q com a primeira coluna e a terceira linha nulas, vista como um anel de Lie, não possui base finita para suas identidades. É conhecido que as identidades de M, vista como álgebra de Lie sobre Q, têm base finita. Esta dissertação está baseada nos artigos de Vaughan-Lee, de Krasilnikov e também no livro de Drensky. _________________________________________________________________________________ ABSTRACT

Let K be an associative and commutative unitary ring and let LhXi be the free Lie algebra over K freely generated by X = {x1, x2, . . .}. Let f = f(x1, . . . , xn) 2 LhXi and let G be a Lie algebra over K. We say that f = 0 is an identity in G if f(g1, . . . , gn) = 0 for all g1, . . . , gn 2 G. Two systems of identities {ui = 0 | i 2 I} and {vj = 0 | j 2 J} are equivalent if every Lie algebra over K satisfying all the identities ui = 0 satisfies all the identities vj = 0 and vice versa. If the system of identities {ui = 0 | i 2 I} is equivalent to some finite system of identities, we say that the system {ui = 0 | i 2 I} has a finite basis. In this dissertation, we will demonstrate that, over a field of characteristic 2, the system of identities of Lie algebras consisting of the identity [[x1, x2], [x3, x4], x5] = 0 and the identities [[x1, x2, x3, . . . , xn], [x1, x2]] = 0 (n = 3, 4, . . .) has no finite basis. We will prove also that, over an infinite field K of characteristic 2, the Lie algebra gl2(K) of the 2 × 2 matrices has no finite basis for its identities. Finally, we will show that the Lie algebra M, of all the 3×3 matrices over Q with the first column and the third row with zeros, viewed as a Lie ring, has no finite basis for its identities. It is known that the identities of M viewed as a Lie algebra over Q have a finite basis. This dissertation is based on the articles of Vaughan-Lee and Krasilnikov and also on Drensky’s book.