Sobre a origem das simetrias internas

Abstract

Como uma geometria imersa, a geometria das branas é necessariamente mais rica que a geometria riemanniana satisfazendo a equação de Einstein. De fato, em lugar de contarmos apenas com a métrica, uma geometria imersa inclui também os elementos da geometria extrínseca, como a curvatura extrínseca, ou respectivamente a segunda forma fundamental, e a terceira fundamental, que aparece sempre quando a subvariedade não é uma superfície. As equações de movimentos de uma brana contém estes novos elementos geométricos e conseqüentemente necessitam de uma interpretação física. Enquanto que a segunda forma fundamental tem sido incorporada à física em diversas ocasiões, inclusive na cosmolgia de branas em cinco dimensões, a terceira forma fundamental não aparece quando a subvariedade é apenas uma hiper-superfície (ou seja, com apenas uma dimensão extra). Como a maioria dos modelos estruturada até o presente se concentra em cinco dimensões, o significado físico desta forma fundamental não é geralmente discutido nesses modelos. O objetivo principal desta tese é mostrar que a terceira forma fundamental tem as características de um campo de calibre com respeito a transformações do grupo de rotações do espaço complementar. A possibilidade de que as simetrias entre as dimensões extras em um espaço de imersão possam ser geradoras das simetrias internas foi proposta por Ne’eman em um seminário de 1965, o que não fazia muito sentido já que a relatividade geral é uma teoria riemanniana. Entretanto com o advento da teoria das cordas e da teoria M como uma teoria de variedades imersas, as branas surgiram como sendo objetos dinâmicos e imersos. Nesse caso, no contexto de branas-mundo, a terceira forma fundamental aparece como um campo de calibre fornecendo embasamento teórico para a conjectura de Ne’eman. _________________________________________________________________________________ ABSTRACT

Like an immersed geometry, the brane geometry is necessarily richer than Riemannian geometry, satisfying the Einstein’s equation. In fact, instead of using only the metric, an immersed geometry also includes the elements of an extrinsic geometry, with an extrinsic curvature, or respectively second fundamental form, and the third fundamental form. The later always appearing when the subvariety is not just a surface. The kinematics equations of a brane contain these new geometric elements that brings the necessity of a new physical interpretation. While the second fundamental form has been incorporated to physics in many occasions, including the cosmology of branes in five dimensions, the third fundamental form doesn’t appear when there is only one extra dimension. Most models nowadays focus in five dimensions, the physical meaning of this fundamental form is not discussed in these models. The objective of this thesis is to show that the third fundamental form of the brane-world has the characteristics of a gauge field with respect to the transformations of the rotational group of the complementary space. The possibility that the symmetries between the extra dimensions in an immersed space can generate internal symmetries was originally proposed by Ne’eman in a seminar of 1965. At that time the idea didn’t make much sense, since general relativity is a Riemannian geometry. However with the uprising of string and M theories as theories of immersed varieties, branes became an immersed dynamical object. In this case, the third fundamental form appears as a gauge field in brane theory, an agreement with Ne’eman’s conjecture.