As identidades de uma álgebra vista como um anel

Abstract

Sejam K um corpo de característica 0 e MK o seguinte conjunto de matrizes (Formula: MK é igual uma matriz 3x3 com elementos a11=0; a12=k; a13= k; a21=0; a22=k, a23=k; a31=0; a32=0; a33=0. Aij ∈ k. )Consideramos MK como diversas estruturas algébricas, tais como: K-álgebra associativa, K-álgebra de Lie, anel associativo, anel de Lie, entre outras. Como, pelo resultado de Il‘tyakov, toda álgebra de Lie de dimensão finita sobre um corpo de característica 0 possui uma base finita de identidades, a álgebra de Lie MK possui uma tal base. Por outro lado, Krasilnikov demonstrou recentemente que as identidades do anel de Lie MK não tem base finita. Contudo, estas bases (finita para a álgebra e infinita para o anel) não foram encontradas explicitamente. Neste trabalho exibimos estas bases de identidades. Mais precisamente, demonstramos que MK visto como uma K-álgebra de Lie temuma base formada pela única identidade [x1, x2, [x3, x4], x5] e que uma base de identidades de MK visto como anel de Lie é {[x1,x2,[x3,x4]} U {[x1, x2,[x1,x2,x3,...,xr]] | r=4,6,8,...} U {[x1,x2,[x3,x4,x5,...,xr]] + [x1,x3,[x4,x2,x5,...,xr]] + [x1,x4,[x2,x3,x5,...,xr]] |r=5,7,...}. Além disso, considerando o problema semelhante para álgebras associativas, demonstramos que uma base de identidades da K-álgebra associativa MK é formada por x1[x2, x3]x4 e esta mesma identidade forma uma base de MK visto como anel associativo. Por fim, também encontramos bases de identidades graduadas para MK, com algumas graduações, considerando-lo como as mesmas estruturas algébricas (K-álgebra associativa, K-álgebra de Lie, anel associativo e anel de Lie). _________________________________________________________________________ ABSTRACT

Let K be a field of characteristic 0 and MK the following set of matrices (Formula: MK is equal to a 3x3 matrix with elements a11 = 0 a12 = k, k = a13, a21 = 0 a22 = k, k = a23, a31 = 0 a32 = 0, A33 = 0. Aij ∈ k.) We consider MK as varias algebraic structures, such as: associative K-algebra, Lie K-algebra, associative ring, Lie ring, etc. Since, by Il’tyakov’s result, each finite dimensional Lie algebra over a field of characteristic 0 has a finite basis of identities, the Lie algebra MK has such a basis. On the other hand, recently Krasilnikov proved that the identities of the Lie ring MK has no finite basis. However, these bases (finite for the algebra and infinite for the ring) were not found explicitly. In the presente thesis we exhibit these bases of identities. More precisely, we show that MK viewed as a Lie K-algebra has a basis formed by the single identity [x1, x2, [x3, x4]x5] and a basis of identities for MK viewed as Lie ring is {[x1,x2,[x3,x4]} U {[x1, x2,[x1,x2,x3,...,xr]] | r=4,6,8,...} U {[x1,x2,[x3,x4,x5,...,xr]] + [x1,x3,[x4,x2,x5,...,xr]] + [x1,x4,[x2,x3,x5,...,xr]] |r=5,7,...}. Furthermore, considering the similar problem for associative algebras, we prove that a basis of identities of the associative K-algebra MK consists of x1[x2, x3]x4 and the same identity forms a basis of identities for MK viewed as an associative ring. Finally, we also found a basis of graded identities for MK, with some gradings, considering it as the same algebraic structures (associative K-algebra, Lie K-algebra, associative ring and Lie ring).