Solitons de Yamabe e métricas CPE

Abstract

Provamos que (anti)self dual solitons gradientes (quasi) Yamabe com curvatura seccional positiva são rotacionais simétricos. Além disso, mostramos que, (anti)self dual solitons gradientes de Yamabe tem uma estrutura de produto torcido muito particular desde que a função potencial não tenha pontos críticos. Consideramos solitons gradientes de Yamabe conformes a espaços pseudo-Euclidianos n-dimensionais. Caracterizamos todos os solitons que são invariantes pela ação de um grupo de translação (n-1)-dimensional e obtemos os solitons tipo estável. Como aplicação, obtemos um exemplo de soliton gradiente de Yamabe estável completo, conforme a um espaço Lorentziano. Investigamos também os pontos críticos do funcional curvatura escalar total restrito a um espaço de métricas com curvatura escalar constante e volume unitátio que denotamos por métricas CPE. Foi conjecturado nos anos 1980 que toda métrica CPE é, necessariamente, Einstein. Provamos que métricas CPE, no caso de dimensão quatro, com tensor W+ harmônico são isométricas à esfera S4 dada uma condição integral. No caso n-dimensional, provamos uma condição necessária e suficiente sobre a norma do gradiente da função potencial para que a métrica CPE seja Einstein.