Formas aditivas de grau 3 τ

Abstract

Para quaisquer inteiro positivo k é definido Γ ∗ (k, p) sendo o menor inteiro s tal que quaisquer forma aditiva a1x k 1 +· · ·+asx k s em s variáveis com coeficientes nos inteiros possui um zero não trivial no corpo p-ádico Qp. Por sua vez, define-se Γ ∗ (k) sendo o menor inteiro s para o qual, quaisquer forma aditiva de grau k com coeficientes inteiros em s variáveis possui um zero não trivial em quaisquer corpo p-ádico, isto é, Γ ∗ (k) = maxp{Γ ∗ (k, p)} com o máximo percorrendo o conjunto dos números primos. Agora, defina γ ∗ = ⌊(τ + 1) log2 (3)⌋ + 1. Em [16] Knapp mostra que quando k = 27, então Γ ∗ (k, 3) ≤ 27 (γ ∗ − 3) + 1 = 109, mas em este trabalho é generalizada e melhorada esta limitante e mostra-se que Γ ∗ (3τ , 3) ≤ 3 τ (γ ∗ − τ − 1) + 1. Além disso, são dadas limitantes superiores para Γ ∗ (k, p) quando -1 é uma k-ésima potencia modulo p τ+1 . Também, é dado o valor exato de Γ ∗ (81) = 568, e, de maneira análoga, mostra-se que Γ ∗ (243, p) ≤ 1945 para p diferente de 3889 ou 4861, e que Γ ∗ (729, p) ≤ 7291 sempre que p ̸= 2917.