Ricci-bourguignon flows and warped products

Abstract

Esta tese tem três propósitos principais. Primeiro, investigamos soluções do fluxo de Ricci que preservam a estrutura de produto torcido. Neste caso, nós mostramos que a fibra é uma variedade de Einstein e a equação do Fluxo de Ricci na variedade produto é equivalente a um sistema de equações de evolução na base. Em seguida, consideramos soluções do fluxo Ricci que preservam a estrutura do produto torcido e são definidos para todo tempo negativo, as chamadas soluções anciãs. Nós provamos a não-existência de tais soluções quando o produto torcido tem base compacta e a constante de Einstein de sua fibra é não-positiva. Em segundo lugar, estudamos quase solitons de Ricci em produtos torcidos. Mostramos que um quase soliton de Ricci gradiente em um produto torcido, (Bn h Fm; g; f; ), cuja função potencial f depende da fibra, ou é um sóliton de Ricci ou não é constante e o produto torcido, a base, e a fibra são variedades de Einstein que admitem campos de vetores conformes. Assumindo a completude, uma classificação é fornecida para os quase solitons Ricci em produtos torcidos, cujas funções potenciais dependem da fibra. Uma propriedade importante da função potencial é provada, mais precisamente, sua decomposição em termos de funções que dependem ou da base ou da fibra. No caso de um sóliton de Ricci completo, provamos que a função potencial depende apenas da base. O terceiro tema ocupa-se do fluxo de Ricci-Bourguignon em uma variedade compacta de dimensão 3. Esta é uma família de equações de evolução a 1 parâmetro, , e nós mostramos que a importante estimativa de Hamilton-Ivey é verdadeira quando esse parâmetro está no intervalo (􀀀1=2; 1=4). Como consequência dessa desigualdade, mostramos que as soluções anciãs, em variedades tridimensionais compactas, possuem curvatura seccional não negativa, quando sua curvatura escalar é uniformemente limitada no tempo e 2 (􀀀1=2; 1=4).