Variedades de p-grupos sem base finita

Abstract

Seja F = F(X) o grupo livre com base X = fx1;x2; ... g: Para cada v = v(x1; ... ;xn) 2 F, a expressão v ´ 1 é dita uma identidade ou uma lei em um grupo G se v(g1; ... ;gn) = 1 para todos g1; ... ;gn 2 G: A classe de grupos satisfazendo todas as identidades de um conjunto V é chamada variedade de grupos. Denotaremos esta variedade por V e chamaremos o conjunto V de base de identidades desta variedade. Um problema que ganhou importância no estudo de variedades de grupos é o seguinte: uma dada variedade de grupos V tem base finita de identidades? Nesta dissertação estudaremos este problema para certas variedades, ela está dividida em quatro capítulos. Faremos dois capítulos iniciais de preliminares, sobre grupos e variedades de grupos. Já nos capítulos finais falaremos sobre duas variedades de grupos que não possuem base finita de identidades. A primeira destas é uma variedade solúvel de expoente p2. A segunda variedade consiste de todos os grupos que são extensões de um grupo de expoente p2 por um grupo de expoente p: A questão da inexistência de base finita para esta variedade generaliza, de forma natural, um problema bem conhecido proposto por Hanna Neumann [14]. Nos basearemos no trabalho de Gupta e Krassilnikov [5] e no trabalho de Kleiman [10]. _____________________________________________________________________________________________________________________ ABSTRACT

Let F = F(X) be the free group with a basis X = fx1;x2; ... g: For any v = v(x1; ... ; xn) 2 F, the expression v ´ 1 is said to be an identity or a law of a group G if v(g1; : : : ;gn) = 1 for all g1; ... ;gn 2 G: The class of groups satisfying all the identities of a set V is called a variety of groups. We denote this variety by V and we call the set V a basis of identities of this variety. One of the important problems in the study of varieties of groups is the following: a given variety of groups V is finitely based? In this dissertation we study the problem above for certain varieties. The dissertation is divided in four chapters. The two initial chapters contain preliminaries on groups and varieties of groups. In the final chapters we will talk about two varieties of groups that have no finite basis of identities. The first variety is a soluble variety of exponent p2. The second variety consists of all groups that are extensions of a group of exponent p2 by a group of exponent p. The question of inexistence of finite basis for the latter variety generalizes, in a natural way, a well-known problem proposed by Hanna Neumann [14]. This dissertation is based on the work of Gupta and Krassilnikov [5] and on the work of Kleiman [10].