Stationary solutions to a degenerate logistic equation with superlinear or asymptotically linear nonlinearity

Abstract

Neste trabalho estamos interessados em resolver o problema logístico estacionário com termo superlinear ( −∆u = λu − b(x)f(u) em Ω u = 0 em ∂Ω (P) em que Ω ⊂ R N é domínio aberto limitado com bordo ∂Ω suave, λ é um parâmetro real positivo, b : Ω → R é uma função contínua em L∞(Ω) tal que b(x) é não negativa com Ω0 = {x ∈ Ω : b(x) = 0} subconjunto conexo, regular e com medida de Lebesgue |Ω0| > 0. Sob essas condições, juntamente com a variedade de Nehari e o Teorema do Passo da Montanha, mostramos primeiramente, no caso em que f(s) é superlinear e subcrítica quando s tende a ±∞, que o problema (P) possui uma solução positiva e uma solução que muda de sinal em u ∈ H1 0 (Ω). Além disso, no segundo caso em que f(s) é assintoticamente linear no infinito o termo linear λu em (P) é substituído por um termo mais geral λa(x)u, com a : Ω → R função em L∞(Ω) com a(x) > 0 q.t.p. em Ω, mostraremos também a existência de solução positiva única e uma solução que muda de sinal, utilizando os mesmos métodos anteriores e a teoria espectral com peso.